is_реклам:

пошук, категорії та ін. показати ▼

Приклад Уілкінсона

Приклад Уілкінсона
автор опубліковано

Серед особливостей при розв’язуванні алгебраїчних рівнянь необхідно звернути увагу на чутливість деяких задач до внесення похибки.

Розглянемо приклад Уілкінсона (1963) про нулі многочленна
 P_{20}(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)(x-12)(x-13)(x-14)(x-15)(x-16)(x-17)(x-18)(x-19)(x-20)

Очевидно, що коренями рівняння

 P_{20}(x)=0

будуть числа
x_1=1\\x_2=2\\x_3=3\\x_4=4\\x_5=5\\x_6=6\\x_7=7\\x_8=8\\x_9=9\\x_{10}=10\\x_{11}=11\\x_{12}=12\\x_{13}=13\\x_{14}=14\\x_{15}=15\\x_{16}=16\\x_{17}=17\\x_{18}=18\\x_{19}=19\\x_{20}=20

Якщо відкрити дужки в виразі для многочлена, отримаємо

 P_{20}=x^{20}-210 x^{19}+ \dots +20!

Внесемо похибку у коефіцієнт при , тобто лише один із двадцяти одного коефіцієнтів змінимо в сьомій цифрі після коми. А саме, замість многочленна розглянемо многочлен . Корені рівняння  \overline P_{20}(x)=0 , обчислені з усіма правильними цифрами, такі:

 x_1=1.00000 0000\\x_2=2.00000 0000\\x_3=3.00000 0000\\x_4=4.00000 0000\\x_5=4.99999 9928\\x_6=6.00000 6944\\x_7=6.99969 7234\\x_8=8.00726 7603\\x_9=8.91725 0249\\x_{10,11}=10.09526 6145 \pm 0.64350 0904 i \\x_{12,13}=11.79363 3881 \pm 1.65232 9728 i \\x_{14,15}=13.99235 8137 \pm 2.51883 0070 i \\x_{16,17}=16.73073 7466 \pm 2.81262 4894 i \\x_{18,19}=19.502439400\pm1.94033 0347 i \\x_{20}=20.84690 8101

Отже, менші по модулю корені змінилися мало, а більші значно відрізняються від коренів многочлена, з’явилося 5 пар комплексних коренів. Причина сильної зміни коренів не пов’язана з похибками заокруглення чи алгоритмом, а полягає в чутливості до похибок самої задачі.

схоже за тегами

Залишити коментар:

Яндекс цитирования UA TOP Bloggers